Question

已知函数f（x）=x+

k

x

，且此函数图象过点（2，6）
（1）求实数k的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断函数f（x）在[3，+∞）上的单调性，并给予证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）代入点的坐标，解方程即可得到k=8；
（2）运用奇偶性的定义，首先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（-x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；
（3）函数f（x）在[3，+∞）上递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形、定符号和下结论几个步骤．

解答： 解：（1）由题意可得f（2）=6，
即2+

k

2

=6，解得，k=8；
（2）函数f（x）=x+

8

x

的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，
f（-x）=-x-

8

x

=-（x+

8

x

）=-f（x），则f（x）为奇函数；
（3）函数f（x）在[3，+∞）上递增．
证明如下：设m＞n≥3，则f（m）-f（n）=m+

8

m

-（n+

8

n

）
=（m-n）+

8(n-m)

mn

=（m-n）•

mn-8

mn

，
由m＞n≥3，则m-n＞0，mn＞9，即mn-8＞0，
则有f（m）-f（n）＞0，即有f（m）＞f（n），
故f（x）在[3，+∞）上递增．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．