Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），离心率为

3

2

，两焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线交椭圆C于M，N两点，且△F₂MN的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（m，0）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用已知条件求出椭圆方程中的几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）利用直线的斜率存在与不存在，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理，以及弦长公式表示弦长|AB|通过基本不等式求解弦长的最大值．

解答： 解：（1）由题得：

c

a

=

3

2

，4a=8，所以a=2，c=

3

．    …（3分）
又b²=a²-c²，所以b=1即椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）由题意知，|m|≥1．
当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B的坐标分别为(1，

3

2

)，(1，-

3

2

)，
此时|AB|=

3

； 当m=-1时，同理可得|AB|=

3

…（5分）
当|m|＞1时，设切线l的方程为y=k（x-m），（k≠0）
由

y=k(x-m) x 2   4 + y 2   =1.

得(1+4

k

2

)

x

2

-8k2mx+4k2m2-4=0
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则△=64k⁴m²-16（1+4k²）（4k²m²-4）=48k²＞0x1+x2=

8 k 2   m

1+4k2

，x1x2=

4k2m2-4

1+4k2

又由l与圆

x

2

+

y

2

=1相切，得

|km|

k 2   +1

=1，即m2k2=k2+1．得k2=

1

m2-1

所以|AB|=

(x2-x1 ) 2   +(y2-y1 ) 2

=

(1+ k 2   )[ 64k4m2 (1+4k2)2 - 4(4k2m2-4) 1+4k2 ]

=

4 3 |m|

m 2   +3

…（9分）
因为|m|≥1所以|AB|=

4 3 |m|

m 2   +3

=

4 3

|m|+ 3 |m|

≤2，
且当m=±

3

时，|AB|=2，
由于当m=±1时，|AB|=

3

，所以|AB|的最大值为2．…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．