题目内容

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是
 
（写出所有正确命题的编号）．
①当CQ=1时，S的面积为
6
2
．
②当
3
4
＜CQ＜1时，S为六边形
③当CQ=
3
4
时，S与m的交点R满足C1R1=
1
3

④当CQ=
1
2
时，S为等腰梯形
⑤当0＜CQ＜
1
2
时，S为四边形．
考点：命题的真假判断与应用
专题：空间位置关系与距离
分析：①，当CQ=1时，点Q与点C1重合，如图知，截面S为菱形，易求其面积为
6
2
，可判断①；
取AD的中点M，在DD1上取点N，使得DN=CQ，则MN∥PQ；作AT∥MN，交直线DD1于点T，则A、P、Q、T四点共面；
②，当
3
4
＜CQ＜1时，
3
4
＜DN＜1⇒DT=2DN∈（
3
2
，2），T在DD1的延长线上，设TQ与C1D1交于点E，AT与A1D1交于点F，则S为五边形APQEF，可判断②；
③，当CQ=
3
4
时，则DN=
3
4
⇒DT=2DN=
3
2
⇒D1T=
1
2
；由D1R：TD1=BC：DT可求得D1R=
3
2
，继而可得C1R=
1
3
，可判断③；
④，当CQ=
1
2
时，则DN=
1
2
，易知点T与D1重合，从而知S为等腰梯形APQD1，可判断④；
⑤，当0＜CQ＜
1
2
时，则0＜DN＜
1
2
⇒DT=2DN＜1⇒S为四边形APQT，可判断⑤；．
解答： 解：对于①，当CQ=1时，点Q与点C1重合，此时过点A，P，Q的平面与A1D1相交于R，且点R为A1D1的中点，

此时，截面APQR为菱形，该菱形的两条对角线分别为：AQ=
3
，PR=
2
，
所以S=
1
2
×
3
×
2
=
6
2
，故①正确；
取AD的中点M，在DD1上取点N，使得DN=CQ，则MN∥PQ；作AT∥MN，交直线DD1于点T，则A、P、Q、T四点共面；

对于②，当
3
4
＜CQ＜1时，
3
4
＜DN＜1⇒DT=2DN∈（
3
2
，2），T在DD1的延长线上，设TQ与C1D1交于点E，AT与A1D1交于点F，则S为五边形APQEF，故②错误；
对于③，当CQ=
3
4
时，则DN=
3
4
⇒DT=2DN=
3
2
⇒D1T=
1
2
；由D1R：TD1=BC：DT⇒D1R=
3
2
⇒C1R=
1
3
，故③正确；
对于④，当CQ=
1
2
时，则DN=
1
2
⇒DT=2DN=1⇒点T与D1重合⇒S为等腰梯形APQD1，故④正确；
对于⑤，当0＜CQ＜
1
2
时，则0＜DN＜
1
2
⇒DT=2DN＜1⇒S为四边形APQT，故⑤正确；
综上，命题正确的是：①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
点评：本题考查多面体与截面的问题，要求学生掌握作截面的方法，要充分利用面面平行、线面平行的性质定理确定截面，再利用相似性质进行具体的计算，属于难题．
练习册系列答案
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给出定义：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=|x-{x}|的四个结论：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，
1
2
]；
②函数y=f（x）的图象关于直线x=
k
2
(k∈Z)对称；
③函数y=f（x）是偶函数；
④函数y=f（x）在[-
1
2
，
1
2
]上是增函数．
其中正确结论的个数是（　　）
A、0B、1C、2D、3
已知集合P={x|x2＜4}，  Q={x|
x
＜4}，则P∩Q=（　　）
A、{x|x＜2}B、{x|0≤x＜2}
C、PD、Q
下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（　　）
A、y=2|x|
B、y=lg(
x2+1
-x)
C、y=2x-2-x
D、
3
5
+
4
5
x
设集合A={1，3，a}，B={1，2}且A?B，则a的值为（　　）
A、0B、1C、2D、3
计算：lg5（lg8+lg1000）+（lg2
3
）2+lg
1
6
+lg0.006=
 
．
若角α与角β的终边关于原点成中心对称，则α与β的关系是
 
．
（1）设全集为R，A={x|3＜x＜7}，B={x|4＜x＜10}，求∁R（A∪B）及（∁RA）∩B．
（2）C={x|a-4≤x≤a+4}，且A∩C=A，求a的取值范围．
二直线mx+3y+3=0，2x+（m-1）y+2=0平行，则实数m的值为（　　）
A、3或-2B、-3或2
C、3D、-2

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