Question

已知向量

a

=（sinx，cos²x-

1

2

），

b

=（cosx，-

3

），其中x∈R，函数f（x）=5

a

•

b

-3
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）确定函数f（x）的单调区间；
（3）函数f（x）的图象可以由函数y=5sin2x的图象经过怎样的变化而得到？

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,数量积的坐标表达式

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）先化简求f（x）的解析式，根据周期公式可求函数f（x）的最小正周期；
（2）由三角函数的图象与性质可求得函数f（x）的单调区间；
（3）先左移

π

6

个单位，再向下平移3个单位可得到函数y=5sin2x的图象．

解答： 解：f(x)=5

a

•

b

-3=5sinxcosx+5(cos2x-

1

2

)•(-

3

)-3
=5sinxcosx-5

3

cos2x+

5 3

2

-3=

5

2

sin2x-5

3

•

1+cos2x

2

+

5 3

2

-3
=

5

2

sin2x-

5 3

2

cos2x-3=5sin(2x-

π

3

)-3…（4分）
（1）由周期公式可求得：T=

2π

2

=π…（6分）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z），从而可解得函数f（x）的递增区间：[kπ-

π

12

，kπ+

5

12

π](k∈z)
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，（k∈Z），从而可解得函数f（x）的递减区间：[kπ+

5

12

π，kπ+

11

12

π](k∈z)…（10分）
（3）先左移

π

6

个单位可得到函数y=5sin[2（x+

π

6

）-

π

3

]-3的图象，再向下平移3个单位可得到函数y=5sin[2（x+

π

6

）-

π

3

]=5sin2x的图象   …（12分）

点评：本题主要考察了三角函数的图象与性质，平面向量及应用，属于基本知识的考查．