Question

如图，四棱柱ABCD  A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC．过A₁，C，D三点的平面记为α，BB₁与α的交点为Q．
（1）证明：Q为BB₁的中点；
（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
（3）若AA₁=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得平面QBC∥平面A₁AD，从而QC∥A₁D，由此能证明Q为BB₁的中点．
（2）连接QA，QD．设AA₁=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V_上和V_下，BC=a，则AD=2a．V_下=VQ-A1AD+V_{四棱锥QABCD}=

7

12

ahd．V四棱柱A1B1C1D1-ABCD=

3

2

ahd，由此能求出此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比．
（3）法一：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A₁E，∠AEA₁为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，由此求出平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
（3）法二：以D为原点，DA，DD₁分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出平面α与底面ABCD所成二面角的大小．

解答： （1）证明：∵BQ∥AA₁，BC∥AD，
BC∩BQ=B，AD∩AA₁=A，
∴平面QBC∥平面A₁AD，
∴平面A₁CD与这两个平面的交线相互平行，
即QC∥A₁D．
∴△QBC与△A₁AD的对应边相互平行，
∴△QBC∽△A₁AD，
∴

BQ

BB1

=

BQ

AA1

=

BC

AD

=

1

2

，
∴Q为BB₁的中点．
（2）解：如图1所示，连接QA，QD．设AA₁=h，梯形ABCD的高为d，
四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V_上和V_下，BC=a，则AD=2a．
VQ-A1AD=

1

3

•

1

2

•2a•h•d=

1

3

ahd，
V_{四棱锥QABCD}=

1

3

•

a+2a

2

•d•

1

2

h=

1

4

ahd，
所以V_下=VQ-A1AD+V_{四棱锥QABCD}=

7

12

ahd．
又V四棱柱A1B1C1D1-ABCD=

3

2

ahd，
所以V_上=V四棱柱A1B1C1D1-ABCD-V_下=

3

2

ahd-

7

12

ahd=

11

12

ahd，
故

V上

V下

=

11

7

．
（3）解法一：如图1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A₁E．
又DE⊥AA₁，且AA₁∩AE=A，
所以DE⊥平面AEA₁，所以DE⊥A₁E．
所以∠AEA₁为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角．
因为BC∥AD，AD=2BC，所以S_△ADC=2S_△BCA．
又因为梯形ABCD的面积为6，DC=2，
所以S_△ADC=4，AE=4．
于是tan∠AEA₁=

AA1

AE

=1，∠AEA₁=

π

4

．
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为

π

4

．
（3）解法二：如图2所示，
以D为原点，DA，DD₁分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系．
设∠CDA=θ，BC=a，则AD=2a．
因为S_{四边形ABCD}=

a+2a

2

•2sin θ=6，
所以a=

2

sinθ

．
从而可得C（2cos θ，2sin θ，0），A₁（

4

sinθ

，0，4），
所以DC=（2cos θ，2sin θ，0），

DA1

=（

4

sinθ

，0，4）．
设平面A₁DC的法向量

n

=（x，y，1），
由

DA1 • n = 4 sinθ x+4=0 DC • n =2xcosθ+2ysinθ=0

，
得

x=-sinθ y=cosθ

，
所以

n

=（-sin θ，cos θ，1）．
又因为平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
所以cos＜

n

，

m

＞=

1

sin2θ+cos2θ+1

=

2

2

，
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为

π

4

．

点评：本题考查Q为BB₁的中点的证明，考查四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．