Question

已知函数f（x）=

-2x+1

2x+1+a

（a∈R，a＞0）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a=2时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a=2时，求出函数的解析式，根据指数函数的性质即可求函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）由f（-x）=f（x）得

-2-x+1

2-x+1+a

=

-2x+1

2x+1+a

，
即

-1+2x

2+a•2x

=

-2x+1

2•2x+a

，即-2-a•2^x=a+2•2^x，
解得a=-2，此时函数f（x）为偶函数，
由f（-x）=-f（x）得

-2-x+1

2-x+1+a

=-

-2x+1

2x+1+a

，
即-

-1+2x

2+a•2x

=

-2x+1

2•2x+a

，即2+a•2^x=a+2•2^x，
解得a=2，此时函数f（x）为奇函数，
当a≠±2时，f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），此时函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）当a=2时，f（x）=

-2x+1

2x+1+a

=

-2x+1

2x+1+2

=

2-(2x+1)

2(2x+1)

=

1

2x+1

-

1

2

，
∵2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
则-

1

2

＜

1

2x+1

-

1

2

＜

1

2

，
即函数的值域为（-

1

2

，

1

2

）

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，以及函数值域的求解，根据指数函数的性质是解决本题的关键．