Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+

3

（2cos²x-1），x∈R．
（Ⅰ）若对任意x恒有f（-

π

6

）≤f（ωx+φ）≤f（

π

3

），（ω＞0，|φ|＜

π

2

），求ω的最小值和对应的φ的值．
（Ⅱ）若△ABC的角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且f（

A

2

）=1，又b，a，4c成等比数列，求

sinB

sinC

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，化简函数解析式，得到f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1，然后，依据f（-

π

6

）≤f（ωx+φ）≤f（

π

3

）恒成立，得到

1

2

T的最大值为：

π

3

-（-

π

6

）=

π

2

，从而求解即可；
（Ⅱ）根据f（

A

2

）=1，得到A=

2π

3

，然后，结合边的关系和正弦定理，求解其比值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）²+

3

（2cos²x-1）
=1+sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）+1，
∴f（ωx+φ）=2sin（2ωx+2φ+

π

3

）+1，设其最小正周期为T，
由题意知，

1

2

T_max=

π

3

-（-

π

6

）=

π

2

，
∴T_max=π，
∴ω_min=1，
同时，2×

π

3

+2φ+

π

3

=

π

2

+2kπ，k∈z，
又∵|Φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．

（Ⅱ）∵f（

A

2

）=1，
∴2sin（A+

π

3

）+1=1，
∴sin（A+

π

3

）=0，
∵A∈（0，π）
∴A=

2π

3

，
∵b，a，4c成等比数列，
∴a²=4bc，
由余弦定理，得
a²=b²+c²-2bccosA，得
∴b²+c²-bc=4bc，
∴（

b

c

）²-3

b

c

+1=0，
∴

b

c

=

3± 5

2

，
根据正弦定理，得

b

sinB

=

c

sinC

，
∴

sinB

sinC

=

b

c

，
∴

sinB

sinC

的值

3± 5

2

．

点评：本题重点考查了余弦定理、正弦定理、三角恒等变换公式等知识，属于中档题．