Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD是菱形AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD丄平面PAC；
（Ⅱ）若PA=Ab，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）根据菱形得出AC⊥BD，再运用判定定理可证明，（Ⅱ）求出高线PA=2，运用四棱锥P-ABCD的体积公式求解．

解答： 证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵PA丄平面ABCD，
∴PA丄BD
∴BD丄平面PAC；
解：（Ⅱ）∵PA=AB，
∴PA=2，
∵底面ABCD是菱形AB=2，∠BAD=60°．
∴S_{平行四边形ABCD}=2

3

，
∴四棱锥P-ABCD的体积=

1

3

×2

3

×2=

4 3

3

点评：本题考查了空间几何体中的线面垂直问题，体积的求解，关键是抓住定理，公式的条件，属于中档题．