Question

如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D为斜边AB的中点．将△BCD沿直线CD翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意得，AD=CD=BD═

x2+1

2

，BC=x，取BC中点E，翻折前，DE=

1

2

，AC=

1

2

，翻折后，CB⊥AD，BC⊥AE，DE⊥BC，AB=AC=1，AE=

1- 1 4 x2

，AD=

x2+1

2

，由此能求出x的取值范围．

解答： 解：由题意得，AD=CD=BD═

x2+1

2

，BC=x，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DE=

1

2

，AC=

1

2

，
翻折后，在图2中，此时 CB⊥AD．
∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，
∴BC⊥AE，DE⊥BC，
又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB=AC=1，
∴AE=

1- 1 4 x2

，AD=

x2+1

2

，
在△ADE中：①

x2+1

2

+

1

2

＞

1- 1 4 x2

，②

x2+1

2

＜

1

2

+

1- 1 4 x2

，③x＞0，
由①②③，得0＜x＜

3

．
如图3，翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，
AD与B₁C交于M，且AD⊥B1C，AD=B₁D=CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B₁CD，
又∠CBD+∠BCD+∠B₁CD=90°，
∴∠CBD=∠BCD=∠B₁CD=30°，
∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×

3

=

3

，
综上，x的取值范围为（0，

3

]．
故答案为：（0，

3

]．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．