Question

如图，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，过左焦点F（-

3

，0）且斜率为k的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky=0交椭圆E于C，D两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：点M在直线l上；
（3）若△BDM的面积是△ACM面积的3倍，求斜率k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由焦点可得c，再由离心率公式和a，b，c的关系，求出a，b，即可得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和中点坐标公式，求得点M的坐标，即可得证；
（3）联立直线方程和椭圆方程，消去x，解得C的纵坐标，再由面积关系，得到方程，解出即可．

解答： （1）解：左焦点F（-

3

，0），则c=

3

，
离心率为

3

2

，则

c

a

=

3

2

，即有a=2，b=1，
则椭圆方程

x2

4

+y²=1；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）
设直线AB：y=k（x+

3

），

y=k(x+ 3 ) x2+4y2=4

消去y，得（1+4k²）x²+8

3

k²x+12k²-4=0，
所以x₁+x₂=-

8 3 k2

1+4k2

，x₀=

x1+x2

2

=-

4 3 k2

1+4k2

，
y₀=k（x₀+

3

）=

3 k

1+4k2

，
因为

-4 3 k2

1+4k2

+4k•

3 k

1+4k2

=0，所以点M在直线l上；
（3）解：由（2）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，
因△BDM的面积是△ACM面积的3倍，所以DM=3CM，又|OD|=|OC|，
于是M是OC的中点，
设点C的坐标为（x₃，y₃） 则y₀=

y3

2

，
因为

x=-4ky x2+4y2=4

，解得y₃=

1

1+4k2

，
于是

1

2 1+4k2

=

3 k

1+4k2

，解得k²=

1

8

，
所以k=±

2

4

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．