Question

18．若不等式x²-|2x-a|+2≥0对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围为[-1，1]．

Answer 1

分析 根据不等式恒成立，转化为两个函数图象关系，利用判别式法结合数形结合进行求解即可

解答 解：不等式x²-|2x-a|+2≥0对任意的x∈R恒成立，
不等式$\frac{1}{2}$（x²+2）≥|x-$\frac{a}{2}$|对任意的x∈R恒成立，
作出函数y=$\frac{1}{2}$（x²+2）和y=|x-$\frac{a}{2}$|的图象，
若$\frac{a}{2}$≥0，
由图象知当y=$\frac{1}{2}$（x²+2）与y=|x-$\frac{a}{2}$|=$\frac{a}{2}$-x相切时，由$\frac{1}{2}$（x²+2）=$\frac{a}{2}$-x，
即x²+2=a-2x，即x²+2x+2-a=0，由判别式△=4-4（2-a）=0，
得4-8=-4a，解得a=1，此时y=|x-$\frac{a}{2}$|的零点为$\frac{1}{2}$
若$\frac{a}{2}$＜0，
由图象知当y=$\frac{1}{2}$（x²+2）与y=|x-$\frac{a}{2}$|=x-$\frac{a}{2}$相切时，由$\frac{1}{2}$（x²+2）=x-$\frac{a}{2}$，
即x²+2=2x-a，即x²+2x+2+a=0，由判别式△=4-4（2+a）=0，
得4-8=4a，解得a=-1，此时y=|x-$\frac{a}{2}$|的零点为-$\frac{1}{2}$，
要使$\frac{1}{2}$（x²+2）≥|x-$\frac{a}{2}$|对任意的x∈R恒成立，
则-$\frac{1}{2}$≤$\frac{a}{2}$≤$\frac{1}{2}$，
则-1≤a≤1，
故答案为：[-1，1]

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用转化法结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．