Question

3．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+bx-c，x＜0}\\{lgx，x＞0}\end{array}\right.$，若b=$\frac{5}{π}$${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，c=${∫}_{0}^{x}$sinxdx，则方程f（x）-$\frac{x}{4π}$=0的不等实根的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题意首先求出b，c的值，然后画出函数图象，利用数形结合求交点个数．

解答 解：${∫}_{0}^{2}\sqrt{4-{x}^{2}}dx$的几何意义是曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$和x轴所围成的图形的面积，显然是$\frac{1}{4}$个半径为2的圆，其面积是$\frac{1}{4}π×{2}^{2}=π$，即b=$\frac{5}{π}$${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=5，
c=${∫}_{0}^{x}$sinxdx=-cosx|${\;}_{0}^{π}$=2，所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+5x-2，x＜0}\\{lgx，x＞0}\end{array}\right.$
当x＜0时，令f（x）-$\frac{x}{4π}$=0，得x²+（5-$\frac{1}{4π}$）x-2=0，此方程有一正一负两个实根，即x＜0时，此方程有一个零点；
当x＞0时，令f（x）-$\frac{x}{4π}$=0，得lgx=$\frac{x}{4π}$，作出函数y=lgx与函数y=$\frac{x}{4π}$的图象，如图
当x=10时，函数y=lgx的值为1，而函数y=$\frac{x}{4π}$的值为$\frac{5}{2π}$＜1，故在区间（0，10）上，函数y=lgx与函数y=$\frac{x}{4π}$的图象有一个交点，
又y=$\frac{x}{4π}$的增长速度比y=lgx快，故在区间（10，+∞）上，函数y=lgx与函数y=$\frac{x}{4π}$的图象必有一个交点，即它们在 （0，+∞）上恰有两个交点；
故选C．

点评 本题考查了利用数形结合，求函数图象的交点个数问题；属于中档题．