经市场调查.某旅游城市在过去的一个月内.第t天(1≤t≤30.t∈N*)的旅游人数f近似地满足f(t)=4+$\frac{1}{t}$.而人均日消费俄g近似地满足g(t)=$\left\{\begin{array}{l}{t+100.1≤t≤20}\\{-t+140.20＜t≤30}\end{array}\right.$．(Ⅰ)试求所有游客在该城市旅游的日消费总额W与时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），第t天（1≤t≤30，t∈N^*）的旅游人数f（t）（单位：万人）近似地满足f（t）=4+$\frac{1}{t}$，而人均日消费俄g（t）（单位：元）近似地满足g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+100，1≤t≤20}\\{-t+140，20＜t≤30}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）试求所有游客在该城市旅游的日消费总额W（t）（单位：万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N^*）的函数表达式；
（Ⅱ）求所有游客在该城市旅游的日消费总额的最小值．

分析（1）利用日消费总额=日旅游人数×人均消费的钱数，化简即得结论；
（2）通过（1）可知当t∈[1，20]时利用基本不等式可知当且仅当t=5时取最小值441，当t∈（20，30]时利用函数的单调性可知当t=30时W（t）有最小值443+$\frac{2}{3}$，进而比较即得结论．

解答解：（1）由题意，根据该城市的旅游日消费总额=日旅游人数×人均消费的钱数，
可得：W（t）=f（t）g（t）
=$\left\{\begin{array}{l}{401+4t+\frac{100}{t}，1≤t≤20}\\{559+\frac{140}{t}-4t，20＜t≤30}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知：当t∈[1，20]时，401+4t+$\frac{100}{t}$≥401+2$\sqrt{4t•\frac{100}{t}}$=441，
当且仅当4t=$\frac{100}{t}$即t=5时取等号；
当t∈（20，30]时，因为W（t）=559+$\frac{140}{t}$-4t递减，
所以t=30时，W（t）有最小值W（30）=443+$\frac{2}{3}$，
∵443+$\frac{2}{3}$＞441，
∴t∈[1，30]时，W（t）的最小值为441万元．

点评本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

练习册系列答案

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