Question

7．已知点F是抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，一点M（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）满足线段MF的中点在抛物线C上．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线MF与抛物线C相交于A、B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）求出抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，得到线段MF的中点坐标，利用中点在抛物线C上列出方程即可求解抛物线C的方程．
（2）求出直线MF的方程，与y²=x联立消去y得，求出AB坐标，即可求解距离．

解答 解：（1）抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为$F（{\frac{p}{2}，\;0}）$…（1分）
∴线段MF的中点为$（{\frac{p}{4}，\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}}）$…（3分）
∵线段MF的中点在抛物线C上，∴${（{\frac{{\sqrt{2}}}{4}}）^2}=2p×\frac{p}{4}$，∵p＞0，∴$p=\frac{1}{2}$…（5分）
∴抛物线C的方程为y²=x…（6分）
（2）直线MF的方程为$\frac{x}{{\frac{1}{4}}}+\frac{y}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=1$，即$4x+\sqrt{2}y-1=0$，…（8分）
与y²=x联立消去y得，16x²-10x+1=0…（9分）
解得$x=\frac{1}{2}$或$x=\frac{1}{8}$，…（10分）
当$x=\frac{1}{2}$时，$y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；当$x=\frac{1}{8}$时，$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，
∴$A（{\frac{1}{2}，\;-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}），\;B（{\frac{1}{8}，\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}}）$或$B（{\frac{1}{2}，\;-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}），\;A（{\frac{1}{8}，\;\frac{{\sqrt{2}}}{4}}）$
∴$|AB|=\sqrt{{{（{\frac{1}{2}-\frac{1}{8}}）}^2}+{{（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{4}}）}^2}}=\frac{9}{8}$…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．