Question

6．（1）已知a，b，m，n均为正数，且$\frac{a}{b}＜\frac{m}{n}＜1$，比较$\frac{am}{bn}$与$\frac{a+m}{b+n}$的大小．
（2）已知a＞0，b＞0且a≠b，比较a^ab^b与$（ab）^{\frac{a+b}{2}}$的大小．

Answer 1

分析 （1）利用作差法比较大小．
（2）利用作商法比较大小．

解答 解：（1）$\frac{am}{bn}$-$\frac{a+m}{b+n}$=$\frac{1}{bn（b+n）}$（abm+amn-abn-bmn）
=$\frac{1}{bn（b+n）}$[ab（m-n）+mn（a-b）]，
∵a，b，m，n均为正数，且$\frac{a}{b}＜\frac{m}{n}＜1$，
∴a＜b，m＜n，∴a-b＜0，m-n＜0，
∴$\frac{am}{bn}$-$\frac{a+m}{b+n}$＜0，∴$\frac{am}{bn}$＜$\frac{a+m}{b+n}$．
（2）∵a＞0，b＞0且a≠b，
∴$\frac{{a}^{a}{b}^{b}}{（ab）^{\frac{a+b}{2}}}$=${a}^{\frac{a-b}{2}}$${b}^{\frac{b-a}{2}}$=$（\frac{a}{b}）^{\frac{a-b}{2}}$，
当 a＞b＞0时，$\frac{a}{b}$＞1，$\frac{a-b}{2}$＞0，$（\frac{a}{b}）^{\frac{a-b}{2}}$＞1，
此时a^ab^b＞（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$；
当 b＞a＞0时，$\frac{a}{b}$＜1，$\frac{a-b}{2}$＜0，$（\frac{a}{b}）^{\frac{a-b}{2}}$＞1，
此时a^ab^b＞（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$
∴a^ab^b＞（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$．

点评 本题考查两个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意作差法、作商法的合理运用．