Question

20．如图所示，在Rt△ABC中，已知A（-2，0），直角顶点$B（0，-2\sqrt{2}）$，点C在x轴上．
（1）求Rt△ABC外接圆的方程；
（2）求过点（0，3）且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆心为（1，0），半径为3，即可求Rt△ABC外接圆的方程；
（2）设所求直线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，当圆与直线相切时，有$d=\frac{{|{k+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3$，即可求过点（0，3）且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程．

解答 解：（1）由题意可知点C在x轴的正半轴上，可设其坐标为（a，0），
又AB⊥BC，则k_AB•k_BC=-1，…（3分）
即$\frac{{-2\sqrt{2}}}{2}•\frac{{2\sqrt{2}}}{a}=-1$，解得a=4．…（6分）
则所求圆的圆心为（1，0），半径为3，故所求圆的方程为（x-1）²+y²=9．…（9分）
（2）由题意知直线的斜率存在，
故设所求直线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0．…（12分）
当圆与直线相切时，有$d=\frac{{|{k+3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=3$，解得k=0，或$k=\frac{3}{4}$…（15分）
故所求直线方程为y=3或$y=\frac{3}{4}x+3$，即y-3=0或3x-4y+12=0．…（17分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．