Question

8．在圆x²+y²=3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，$\overrightarrow{PD}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{MD}$动点M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程及其离心率；
（2）若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{PD}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{MD}$得x₀=x，y₀=$\sqrt{3}$y，即可得到椭圆的方程及其离心率；
（2）由于已知坐标原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故求△AOB面积的最大值的问题转化为求线段AB的最大值的问题，由弦长公式将其表示出来，再判断最值即可得到线段AB的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x₀，y₀），由$\overrightarrow{PD}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{MD}$得x₀=x，y₀=$\sqrt{3}$y …..（2分）
因为x₀²+y₀²=3，所以x²+3y²=3，即$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1，
其离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…..（4分）
（Ⅱ）当AB与x轴垂直时，|AB|=$\sqrt{3}$．（5分）
②当AB与x轴不垂直时，
设直线AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得${m}^{2}=\frac{3}{4}（{k}^{2}+1）$．（6分）
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-6km}{3{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{3（{m}^{2}-1）}{3{k}^{2}+1}$（7分）
∴k≠0，|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}$≤4，
当且仅当9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$时等号成立，此时|AB|=2．（10分）
当k=0时，|AB|=$\sqrt{3}$．（11分）
综上所述：|AB|_max=2，
此时△AOB面积取最大值$S=\frac{1}{2}|AB{|}_{max}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（12分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解答本题关键是对直线AB的位置关系进行讨论，可能的最值来，本题由于要联立方程求弦长，故运算量比较大，又都是符号运算，极易出错，做题时要严谨认真．利用弦长公式求弦长，规律固定，因此此类题难度降低不少，因为有此固定规律，方法易找，只是运算量较大．