Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=$\sqrt{5}$．
（1）证明PC⊥AD；
（2）求二面角A-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得出AD⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出PA⊥AD，故AD⊥平面PAC，从而AD⊥PC；
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|为所求．

解答 证明：（1）∵AC=1，AD=2，CD=$\sqrt{5}$，
∴AC²+AD²=DC²，
∴AC⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥PA，
又PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=A，
∴AD⊥平面PAC，又PC?平面PAC，
∴PC⊥AD．
（2）以A为原点，以AD，AC，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示
则D（2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），
∴$\overrightarrow{CD}$=（2，-1，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，-1，2），
设平面CDP的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{-y+2z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，2，1），
又AD⊥平面APC，∴$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）为平面PAC的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角A-PC-D的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，空间角的计算与空间向量的应用，属于中档题．