Question

9．已知数列{b_n}前n项和S_n，且b₁=1，${b_{n+1}}=\frac{1}{3}{S_n}$．
（1）求b₂，b₃，b₄的值；
（2）求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由b₁=1，${b_{n+1}}=\frac{1}{3}{S_n}$．分别取n=1，2，3，即可得出．
（2）利用递推关系即可得出．

解答 解：（1）∵b₁=1，${b_{n+1}}=\frac{1}{3}{S_n}$．
∴b₂=$\frac{1}{3}{b}_{1}$=$\frac{1}{3}$，b₃=$\frac{1}{3}（{b}_{1}+{b}_{2}）$=$\frac{4}{9}$．
b₄=$\frac{1}{3}（{b}_{1}+{b}_{2}+{b}_{3}）$=$\frac{16}{27}$．
（2）n≥2时，b_n+1-b_n=$\frac{1}{3}{S}_{n}$-$\frac{1}{3}{S}_{n-1}$=$\frac{1}{3}{b}_{n}$，可得b_n+1=$\frac{4}{3}$b_n，
∴数列{b_n}是等比数列，公比为$\frac{4}{3}$．
∴b_n=1×$（\frac{4}{3}）^{n-1}$=$（\frac{4}{3}）^{n-1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．