Question

8．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=（a_n+1）²（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和，证明：$\frac{2}{3}$≤T_n＜1（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=1时，即可求得a₁=1，当n≥2时，4S_n-1=（a_n-1+1）²，4S_n=（a_n+1）²，两式相减可得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，可知：a_n-a_n-1=2，数列{a_n}是以2为公差，以1为首项的等差数列，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，根据“裂项法”即可求得T_n=1-$\frac{1}{2n+1}$，T_n＜1，由T_n≥T₁=$\frac{2}{3}$．即可证明$\frac{2}{3}$≤T_n＜1（n∈N⁺）．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，4a₁=（a₁+1）²，解得：a₁=1，
当n≥2时，4S_n-1=（a_n-1+1）²，4S_n=（a_n+1）²，
两式相减得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}是以2为公差，以1为首项的等差数列，
∴a_n=2n-1；
证明：（Ⅱ）$\frac{2}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
∴T_n=（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=1-$\frac{1}{2n+1}$，
∴T_n＜1，
$\frac{1}{{a}_{n}•{a}_{n+1}}$＞0，
∴T_n≥T₁=$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{2}{3}$≤T_n＜1（n∈N⁺）．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．