Question

13．如图，在平面四边形ABCD中，AD=2，CD=4，∠D=$\frac{2π}{3}$．
（1）求sin∠CAD的值；
（2）若cos∠BAD=-$\frac{\sqrt{7}}{14}$，cos∠CBA=$\frac{{\sqrt{15}}}{6}$，求BC边的长．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得AC，再利用正弦定理即可得出．
（2）由∠BAD为四边形内角，可得sin∠BAD＞0且sin∠CAD＞0，由正余弦的关系可得sin∠BAD，cos∠CAD=$\sqrt{1-si{n}^{2}∠CAD}$=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，再由正弦的和差角公式可得：sin∠BAC=sin（∠BAD-∠CAD）．再由△ABC的正弦定理可得BC．

解答 解：（1）在△DAC中，由余弦定理可得AC²=AD²+CD²-2AC•CD•cos∠D=28，$AC=2\sqrt{7}$．
由正弦定理得：sin∠CAD═$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（2）∵∠BAD为四边形内角，∴sin∠BAD＞0且sin∠CAD＞0，
由正余弦的关系可得sin∠BAD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠BAD}$=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，cos∠CAD=$\sqrt{1-{{sin}^2}CAD}$=$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
再由正弦的和差角公式可得：
sin∠BAC=sin（∠BAD-∠CAD）
=sin∠BADcos∠CAD-sin∠CADcos∠BAD
=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$-$\frac{\sqrt{21}}{7}$×$\frac{3\sqrt{21}}{14}$=$\frac{3\sqrt{3}}{7}$+$\frac{\sqrt{3}}{14}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$×$\frac{2\sqrt{7}}{7}$-$\frac{\sqrt{21}}{7}$×$（-\frac{\sqrt{7}}{14}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
再由△ABC的正弦定理可得$\frac{AC}{sin∠CBA}$=$\frac{BC}{sin∠BAC}$⇒BC=$\frac{{2\sqrt{7}}}{{\frac{{\sqrt{21}}}{6}}}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=6$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．