题目内容
13．已知{an}是正项数列，a1=1，且点（$\sqrt{a_n}$，an+1）在函数y=x2+1的图象上．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an，求数列{bn}的前n项和Sn．
分析 （1）由已知得an+1=a1+1，从而数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由已知bn+1-bn=2n，利用累加法求出bn=n2-n+1．由此能求出数列{bn}的前n项和．
解答 解：（1）∵{an}是正项数列，a1=1，且点（$\sqrt{a_n}$，an+1）在函数y=x2+1的图象上，
∴an+1=a1+1，
∴数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=1+（n-1）×1=n．
（2）∵数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an=bn+2n，
∴bn+1-bn=2n，
∴bn=b1+b2-b1+b3-b2+b4-b3+…+bn-bn-1
=1+2+4+6+…+2（n-1）
=1+$\frac{n-1}{2}（2+2n-2）$
=n2-n+1．
∴数列{bn}的前n项和：
Sn=（12+22+32+…+n2）-（1+2+3+…+n）+n
=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1）-$\frac{n（n+1）}{2}$+n．
点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．
练习册系列答案
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