Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=2，3S_n=a_n（n+2），n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂，a₃并猜想a_n的表达式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得a₁=2，3S_n=a_n（n+2），可求得a₂，再由a₂的值求 a₃，猜想a_n=n（n+1）．
（Ⅱ）检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（Ⅰ）由已知得3（a₁+a₂）=4a₂，a₂=6，3（a₁+a₂+a₃）=5a₃，a₃=12，
猜想a_n=n（n+1）．
（Ⅱ）当n=1时，显然成立．
假设当n=k（k≥1）时成立，即a_k=k（k+1），
当n=k+1时，3S_k+1=a_k+1（k+3），即3（S_k+a_k+1）=（k+3）a_k+1，
∵3S_k=a_k（k+2），
∴ka_k+1=a_k（k+2）=k（k+1）（k+2），
a_k+1=（k+1）（k+2），
∴当n=k+1时猜想也成立，
故猜想正确．

点评 本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．