Question

11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB=2c-$\sqrt{3}$b．
（1）求cos（A+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若∠B=$\frac{π}{6}$，D在BC边上，且满足BD=2DC，AD=$\sqrt{13}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据余弦定理表示出cosB，再根据条件可得b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，再利用夹角公式级即可求出A，再根据两角和的余弦公式即可求出，
（2）不妨设DC=x，则BD=2x，BC=AC=3x，根据正弦定理和余弦定理即可求出x，再根据三角形的面积公式计算即可

解答 解：（1）∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
2acosB=2c-$\sqrt{3}$b．
∴2a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=2c-$\sqrt{3}$b，
即b²+c²-a²=$\sqrt{3}$bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{6}$，
∴cos（A+$\frac{π}{4}$）=cos（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{6}$cos$\frac{π}{4}$-sin$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$；
（2）∵B=$\frac{π}{6}$，A=$\frac{π}{6}$，
∴AC=BC，C=$\frac{2π}{3}$
∵BD=2DC，不妨设DC=x，
则BD=2x，BC=AC=3x，
由正弦定理可得$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{AC}{sinB}$，
∴AB=$\frac{3x•\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}$=3$\sqrt{3}$x，
由余弦定理可得AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cosB，
即13=27x²+4x²-2×3$\sqrt{3}$x•2x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得x=1，
∴BC=AC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AC•BC•sinC=$\frac{1}{2}$×3×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．