Question

13．设P，Q分别为直线$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=6-2t\end{array}\right.$（t为参数）和曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{5}cosθ\\ y=-2+\sqrt{5}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）的点，则|PQ|的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 将直线$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=6-2t\end{array}\right.$（t为参数）和曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{5}cosθ\\ y=-2+\sqrt{5}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）化为普通方程，利用圆心到直线的距离d减去半径r，可得|PQ|的最小值．

解答 解：由题意，曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{5}cosθ\\ y=-2+\sqrt{5}sinθ\end{array}\right.$，消去参数θ：
可得曲线C的普通方程为：（x-1）²+（y+2）²=5．
直线$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=6-2t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，可得直线的普通方程为：2x+y-6=0．
由曲线C的普通方程为：（x-1）²+（y+2）²=5．可知圆心为（1，-2），半径r=$\sqrt{5}$．
那么：圆心到直线的距离d=$\frac{|2×1-2-6|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$
可得|PQ|的最小值为：d-r=$\frac{6\sqrt{5}}{5}-\sqrt{5}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$

点评 本题主要考查了参数方程化为普通方程，以及利用平面几何知识解决最值问题．