Question

1．若存在x∈（-1，1]，使得不等式e^2x-ax＜a成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，\frac{2}{e}}）$
• B． （$\frac{2}{e}$，+∞）
• C． $（{-∞，\frac{1}{e}}）$
• D． （$\frac{1}{e}$，+∞）

Answer 1

分析 分类参数得a＞$\frac{{e}^{2x}}{x+1}$，求出f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x+1}$在（-1，1]上的最小值即可得出a的范围．

解答 解：∵e^2x-ax＜a在（-1，1]上有解，∴a＞$\frac{{e}^{2x}}{x+1}$在（-1，1]上有解，
令f（x）=$\frac{{e}^{2x}}{x+1}$，x∈（-1，1]，则a＞f_min（x）．
则f′（x）=$\frac{{e}^{2x}（2x+1）}{（x+1）^{2}}$，
∴当x∈（-1，-$\frac{1}{2}$）时，f′（x）＜0，当x∈（-$\frac{1}{2}$，1]时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-1，-$\frac{1}{2}$]上单调递减，在（-$\frac{1}{2}$，1]上单调递增，
∴当x=-$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最小值f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{e}$．
∴a＞$\frac{2}{e}$．
故选B．

点评 本题考查了函数的存在性问题与函数最值的计算，导数与函数单调性判断，属于中档题．