Question

9．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c且acosC-$\frac{1}{2}$c=b．若$a=2\sqrt{3}$则△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 acosC-$\frac{1}{2}$c=b．由余弦定理可得$a×\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$-$\frac{1}{2}$c=b，化为：b²+c²-a²=-bc．再利用余弦定理可得A．由b²+c²-a²=-bc．可得-$bc≥2bc-（2\sqrt{3}）^{2}$，可得bc≤4．即可得出△ABC面积的最大值．

解答 解：∵acosC-$\frac{1}{2}$c=b．∴$a×\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$-$\frac{1}{2}$c=b，化为：b²+c²-a²=-bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，A∈（0，π）．
∴A=$\frac{2π}{3}$．
∵b²+c²-a²=-bc．$a=2\sqrt{3}$．
∴-bc≥2bc-a²，可得bc≤4．
则△ABC面积S=$\frac{1}{2}bcsinA$$≤\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．