Question

15．不等式|x-1|≤$\frac{1}{12}$的解集为{x|n≤x≤m}
（1）求实数m，n；
（2）若实数a，b满足：|a+b|＜m，|a-b|＜n，求证：|b|＜$\frac{5}{18}$．

Answer 1

分析 （1）求出不等式的解集，根据对应关系求出m，n的值即可；（2）根据绝对值不等式的性质证明即可．

解答 解：（1）由|x-$\frac{1}{4}$|≤$\frac{1}{12}$得-$\frac{1}{12}$≤x-$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{12}$，
即$\frac{1}{6}$≤x≤$\frac{1}{3}$，
∵不等式|x-$\frac{1}{4}$|≤$\frac{1}{12}$的解集为{x|n≤x≤m}，
∴n=$\frac{1}{6}$，m=$\frac{1}{3}$，
（2）证明：3|b|=|3b|=|2（a+b）-（2a-b）|≤2|a+b|+|2a-b|，
∵|a+b|＜m，|2a-b|＜n，∴|a+b|＜$\frac{1}{3}$，|2a-b|＜$\frac{1}{6}$，
则3|b|≤2|a+b|+|2a-b|＜2×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{6}$，即|b|＜$\frac{5}{18}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．