Question

10．设F为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，若OF的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为$\frac{2}{3}$|OF|，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• C． $2\sqrt{5}$
• D． 5

Answer 1

分析 求得交点坐标，利用点到直线的距离公式，即可求得a，c的关系式，即可求得双曲线的离心率．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，
由OF的垂直平分线为x=$\frac{c}{2}$，将x=$\frac{c}{2}$，代入y=$\frac{b}{a}$x，则y=$\frac{bc}{2a}$，
则交点坐标为M（$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2a}$），
由M，到y=-$\frac{b}{a}$x，即bx+ay=0的距离d=$\frac{|\frac{bc}{2}+\frac{bc}{2}|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{2}{3}$|OF|=$\frac{2c}{3}$，
解得：2c=3b=3$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$，即9a²=5c²，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．