Question

14．已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f'（x）满足$\frac{f（x）+xf'（x）}{f'（x）}＜1$，则下列结论中正确的是（　　）

• A． f（x）＞0恒成立
• B． f（x）＜0
• C． 当且仅当x∈（-∞，1），f（x）＜0
• D． 当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0

Answer 1

分析 令g（x）=（x-1）f（x），则g（x）在R递增，根据函数的单调性判断出f（x）的符号即可．

解答 解：∵$\frac{f（x）+xf'（x）}{f'（x）}＜1$，f′（x）＜0，
故f（x）+（x-1）f′（x）＞0，
令g（x）=（x-1）f（x），则g（x）在R递增，
而g（1）=0，故x＞1时，g（x）＞0，x＜1时，g（x）＜0，则f（x）＞0，
故f（x）＞0在R恒成立，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．