Question

18．已知圆O：x²+y²=2，直线l：y=kx-2．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当$∠AOB=\frac{π}{2}$时，求k的值；
（2）若$k=\frac{1}{2}，P$是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点？若过定点则求出该定点，若不存在则说明理由；
（3）若EF、GH为圆O：x²+y²=2的两条相互垂直的弦，垂足为$M（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，求四边形EGFH的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当$∠AOB=\frac{π}{2}$时，点O到l的距离$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r$，由此求k的值；
（2）求出直线CD的方程，即可，探究：直线CD是否过定点；
（3）求出四边形EGFH的面积，利用配方法，求出最大值．

解答 解：（1）∵$∠AOB=\frac{π}{2}$，∴点O到l的距离$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r$，∴$\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}•\sqrt{2}⇒k±\sqrt{3}$．
（2）由题意可知：O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设$P（{t，\frac{1}{2}t-2}）$．
其方程为：$x（{x-t}）+y（{y-\frac{1}{2}t+2}）=0$，
即${x^2}-tx+{y^2}-（{\frac{1}{2}t-2}）y=0$，
又C、D在圆O：x²+y²=2上，
∴${l_{CD}}：tx+（{\frac{1}{2}t-2}）y-2=0$，即$（{x+\frac{y}{2}}）t-2y-2=0$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{y}{2}=0}\\{2y+2=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-1}\end{array}}\right.$
∴直线CD过定点$（{\frac{1}{2}，-1}）$．
（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d₁，d₂．
则$d_1^2+d_2^2={|{OM}|^2}=\frac{3}{2}$，
∴$|{EF}|=2\sqrt{{r^2}-d_1^2}=2\sqrt{12-d_1^2}\;\;|{GH}|=2\sqrt{{r^2}-d_2^2}=2\sqrt{2-d_2^2}$$S=\frac{1}{2}|{EF}||{GH}|=2\sqrt{（{2-d_1^2}）（{2-d_2^2}）}=\sqrt{-4d_2^4+6d_2^2+4}=\sqrt{-4{{（{d_2^2-\frac{3}{4}}）}^2}+\frac{25}{4}}≤\frac{5}{2}$，
当且仅当$d_2^2=\frac{3}{4}$，即${d_1}={d_2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$时，取“=”
∴四边形EGFH的面积的最大值为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．