Question

8．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为$ρsin（\frac{π}{6}-θ）=m$（m为常数），圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+2sinα\\ y=\sqrt{3}+2sinα\end{array}$（α为参数）
（1）求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；
（2）若圆心C关于直线l的对称点亦在圆上，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）利用三种方程的互化方法，即可求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；
（2）圆心C关于直线的对称点亦在圆上，圆心C到直线的距离为1，即可求实数m的值．

解答 解：（1）由$ρsin（\frac{π}{6}-θ）=m$，展开可得：$ρsin\frac{π}{6}cosθ-ρcos\frac{π}{6}sinθ=m$，
直线l的直角坐标方程为：$x-\sqrt{3}y-2m=0$．
由圆C的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-1+2sinα\\ y=\sqrt{3}+2sinα\end{array}\right.（α为参数）$．可得：圆C：$（x+1{）^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=4$．
（2）圆C的圆心C的坐标C（-1，$\sqrt{3}$），
∵圆心C关于直线的对称点亦在圆上，∴圆心C到直线的距离为1，
∴$\frac{{|-1-\sqrt{3}•\sqrt{3}-2m|}}{2}=1$，解得m=-1或m=-3．

点评 本题考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离公式，属于中档题．