Question

13．已知函数f（x）=2cosxsin（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）的对称轴方程；
（2）若方程sin2x+2|f（x+$\frac{π}{12}$）|-m+1=0在x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]上有三个实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用差角的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的对称轴方程；
（2）方程sin2x+2|f（x+$\frac{π}{12}$）|-m+1=0可化为方程sin2x+2|sin2x|=m-1．令g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3sin2x，x∈[0，\frac{π}{2}]}\\{-sin2x，x∈[-\frac{π}{3}，0）}\end{array}\right.$，根据方程有三个实数解，则m-1=1或0＜m-1＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=2cosxsin（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinxcosx-$co{s}^{2}x+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的对称轴方程x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$，k∈Z；．…（7分）
（2）方程sin2x+2|f（x+$\frac{π}{12}$）|-m+1=0可化为方程sin2x+2|sin2x|=m-1．
令g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3sin2x，x∈[0，\frac{π}{2}]}\\{-sin2x，x∈[-\frac{π}{3}，0）}\end{array}\right.$…（10分） 
若方程有三个实数解，则m-1=1或0＜m-1＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴m=2或1＜m＜1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$…（15分）

点评 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的图象与性质，考查学生转化问题的能力，属于中档题．