Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{9}x，x＞0}\end{array}\right.$，则f（f（$\frac{1}{27}$））=$\frac{1}{8}$；当f（f（x₀））≥$\frac{1}{2}$时x₀的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1]∪[729，+∞）．

Answer 1

分析 f（$\frac{1}{27}$）=$lo{g}_{9}\frac{1}{27}$=-$\frac{3}{2}$，即可求出f（f（$\frac{1}{27}$））=${4}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{8}$；利用f（f（x₀））≥$\frac{1}{2}$，结合分段函数，即可求出当f（f（x₀））≥$\frac{1}{2}$时x₀的取值范围．

解答 解：f（$\frac{1}{27}$）=$lo{g}_{9}\frac{1}{27}$=-$\frac{3}{2}$，∴f（f（$\frac{1}{27}$））=${4}^{-\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{8}$，
${4}^{x}≥\frac{1}{2}$，0≥x≥-$\frac{1}{2}$，∴0≥$lo{g}_{9}{x}_{0}≥-\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{3}≤{x}_{0}≤1$；
x＞0时，$lo{g}_{9}x≥\frac{1}{2}$，∴x≥3，log₉x₀≥3，∴x₀≥729，
综上所述，f（f（x₀））≥$\frac{1}{2}$时x₀的取值范围是[$\frac{1}{3}$，1]∪[729，+∞）．
故答案为$\frac{1}{8}$，[$\frac{1}{3}$，1]∪[729，+∞）．

点评 本题考查分段函数，考查学生的计算能力，正确理解分段函数是关键．