Question

10．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x²，若存在实数a，b，使f（x）在[a，b]上的值域为[$\frac{1}{b}$，$\frac{1}{a}$]，则ab=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，先由奇函数的性质，分析可得x＜0时，f（x）=x²+2x，对于正实数a、b，分三种情况讨论：①、当a＜1＜b时，②、当a＜b＜1时，③、当1≤a＜b时，结合二次函数的性质，分析可得a、b的值，将其相乘可得答案．

解答 解：设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=-2x-（-x）²，即-f（x）=-x²-2x，
∴f（x）=x²+2x，设这样的实数a，b存在，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2a=\frac{1}{b}}\\{{b}^{2}+2b=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2a=\frac{1}{a}}\\{{b}^{2}+2b=\frac{1}{b}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}=1}\\{{b}^{2}+2b=\frac{1}{a}=1}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2a=\frac{1}{b}}\\{{b}^{2}+2b=\frac{1}{a}}\end{array}\right.$得ab（a+b）=0，舍去；由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}=1}\\{{b}^{2}+2b=\frac{1}{a}=1}\end{array}\right.$，得a=1，b=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$矛盾，舍去；
由$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+2a=\frac{1}{a}}\\{{b}^{2}+2b=\frac{1}{b}}\end{array}\right.$得a，b是方程x³+2x²=1的两个实数根，
由（x+1）（x²+x-1）=0
得a=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，b=-1，∴ab=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故答案为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合，涉及二次函数的性质，注意先由奇函数的性质，求出x＞0时，f（x）的解析式．