Question

已知椭圆C₁的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C₂：

x2

2

-y²=1的顶点，直线x+

2

y=0与椭圆C₁交于A、B两点，且点A的坐标为（-

2

，1），点P是椭圆C₁上异于点A，B的任意一点，点Q满足

AQ

•

AP

=0，

BQ

•

BP

=0，且A，B，Q三点不共线．
（1）求椭圆C₁的方程
（2）求点Q的轨迹方程
（3）求△ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标．

Answer 1

考点：轨迹方程,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出椭圆的焦点，利用椭圆的定义，可得椭圆C₁的方程
（2）设Q（x，y），P（x₁，y₁），由题意，B（

2

，-1），利用点Q满足

AQ

•

AP

=0，

BQ

•

BP

=0，结合点P是椭圆C₁上异于点A，B的任意一点，求点Q的轨迹方程
（3）由于|AB|=2

3

，故Q到AB的距离最大时，△ABQ的面积最大，即可求△ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标．

解答： 解：（1）双曲线C₂：

x2

2

-y²=1的顶点为F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），
∴椭圆C₁的焦点为F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），
∵椭圆过A（-

2

，1），
∴2a=|AF₁|+|AF₂|=4，
∴a=2，
∴b=

4-2

=

2

，
∴椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）设Q（x，y），P（x₁，y₁）
由题意，B（

2

，-1），
∴

AQ

=（x+

2

，y-1），

AP

=（x₁+

2

，y₁-1），

BQ

=（x-

2

，y+1），

BP

=（x₁-

2

，y₁+1），
由

AQ

•

AP

=0，可得（x+

2

）（x₁+

2

）=-（y-1）（y₁-1），

BQ

•

BP

=0，可得（x-

2

）（x₁-

2

）=-（y+1）（y₁+1），
两式相乘，可得（x²-2）（x₁²-2）=（y²-1）（y₁²-1），
点P是椭圆C₁上异于点A，B的任意一点，∴x₁²=4-2y₁²，
∴-2（x²-2）（y₁²-2）=（y²-1）（y₁²-1），
y₁²-1≠0时，2x²+y²=5；
y₁²-1=0时，则P（-

2

，-1）或P（

2

，1），Q（

2

，1）或Q（-

2

，-1），满足2x²+y²=5，
P与A重合时，P（-

2

，1），
y=

2

x-3代入2x²+y²=5可得Q（

2

，-1）或（

2

2

，-2）；
同理P与B重合时，Q（-

2

，1）或（-

2

2

，2）；
∴Q的轨迹方程为2x²+y²=5，除去（

2

，-1）、（

2

2

，-2）、（-

2

，1）、（-

2

2

，2）；
（3）由于|AB|=2

3

，故Q到AB的距离最大时，△ABQ的面积最大，
设与直线AB平行的直线为x+

2

y+m=0
与2x²+y²=5联立，可得5y²+4

2

my+2c²-5=0
△=32m²-20（2m²-5）=0，可得m=±

5 2

2

，
m=

5 2

2

，y=-2，x=-

2

2

；m=-

5 2

2

，y=2，x=

2

2

；
∴Q（

2

2

，2）或（-

2

2

，-2）时，△ABQ的面积最大，最大为

1

2

|AB|×

| 2 2 + 2 ×2|

1+2

=

5 2

2

．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，有难度．