Question

如图，四边形A A₁ C₁C为矩形，四边形CC₁B₁ B为菱形，且平面CC₁B₁ B⊥A A₁ C₁C，D，E分别是A₁ B₁和C₁C的中点．求证：（1）BC₁⊥平面AB₁C；
（2）DE∥平面AB₁C．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用面面垂直的性质定理，得到AC⊥平面CC₁B₁ B，再由线面垂直的性质得到AC⊥BC₁，进一步利用菱形的性质得到B₁C⊥BC₁，利用线面垂直的判定定理可证；
（2）取AA₁的中点，连接DF，EF，分别判断EF，DF与平面平面AB₁C平行，得到面面平行，利用面面平行的性质可证．

解答： 解：（1）∵四边形A A₁ C₁C为矩形，∴AC⊥CC₁，
又平面CC₁B₁ B⊥A A₁ C₁C，CC₁B₁ B∩A A₁ C₁C=CC₁，
∴AC⊥平面CC₁B₁ B，
∵BC₁?平面CC₁B₁ B，
∴AC⊥BC₁，
∵四边形CC₁B₁ B为菱形，∴B₁C⊥BC₁，
又B₁C∩AC=C，AC?平面A₁C，B₁C?平面AB₁C，
∴BC₁⊥平面AB₁C；
（2）取AA₁的中点，连接DF，EF，
∵四边形A A₁ C₁C为矩形，E，F分别是C₁C，AA₁的中点，
∴EF∥AC，又EF?平面平面AB₁C，AC?平面AB₁C，
∴EF∥平面AB₁C，
又D，F分别是A₁ B₁和AA₁的中点，
∴DF∥A B₁，
又DF?平面AB₁C，AB₁?平面AB₁C，
∴DF∥平面AB₁C，
∵EF∩DF=F，EF?平面DEF，DF?平面DEF，
∴平面DEF∥平面AB₁C，
∵DE?平面DEF，
∴DE∥平面AB₁C．

点评：本题考查直线与平面的垂直的判定、直线与平面平行的判定，体现了转化的思想，考查逻辑思维能力 空间想象能力，是中档题．