Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=

n(n+1)(4n-1)

6

，n∈N^*
（1）求a₁的值．
（2）求数列{a_n}的通项公式．
（3）证明：对一切正整数n，有

1

a12

+

4

a22

+…

n2

an2

＜

5

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）令n=1直接计算即可；
（2）根据S_n与a_n的关系，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）利用

n2

an2

=

n2

n2(2n-1)2

＜

1

(2n-1)(2n-3)

并项即可计算．

解答： 解：（1）a₁=S₁=

1×2×3

6

=1；

（2）a_n=S_n-S_n-1
=

n(n+1)(4n-1)

6

-

(n-1)n(4n-5)

6

=n（2n-1）；
显然，当n=1时，a₁=1×（2×1-1）=1，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=n（2n-1）．

（3）根据（2）可得：
a_n=n（2n-1），
故

n2

an2

=

n2

n2(2n-1)2

=

1

(2n-1)2

＜

1

(2n-1)(2n-3)

=

1

2

(

1

2n-3

-

1

2n-1

)，
所以

1

a12

+

4

a22

+…

n2

an2

＜

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

)
=

1

2

(1-

1

2n-1

)
∵当n=1时，原式=1＜

5

4

，
 当n=2时，原式=

1

3

，
∴原式＜

5

4

，
故对一切正整数n，有

1

a12

+

4

a22

+…

n2

an2

＜

5

4

．

点评：本题主要考查数列的通项公式，是数列与不等式相结合的综合题，难度较大，考查了分析问题与解决问题的能力．