Question

牛顿冷却模型是指：在常温环境下，如果最初的温度时θ₁，环境温度是θ₀，则经过时间t（单位：min）后物体的温度θ（单位：℃）将满足；θ=f（t）=θ₀+（θ₁-θ₀）e^-kt，其中k为正常数，假设在室内温度为20℃的情况下，一桶咖啡由100℃降低到60℃需要20min．
（1）求f（t）
（2）f′（0）=-2.768的实际意义是什么？
（3）画出函数θ=f（t）在t=20附近的大致图．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型,函数图象的作法

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）根据题意，利用公式θ=f（t）=θ₀+（θ₁-θ₀）e^-kt，求出k的值；
（2）由f（t）求导数f′（t），用导数的几何意义解释f′（0）；
（3）求出t=20时，θ的值，根据函数θ=f（t）的单调性画出大致图形即可．

解答： 解：（1）根据题意，得；
∵θ=f（t）=θ₀+（θ₁-θ₀）e^-kt，其中k为正常数，
当θ₀=20，θ₁=100，θ=60，t=20时，
20+（100-20）•e^-20k=60，
即e^-20k=

1

2

，
解得k=

ln2

20

，
∴f（t）=20+80e-

ln2

20

t；
（2）∵f（t）=20+80e-

ln2

20

t，
∴f′（t）=80•（-

ln2

20

）•e-

ln2

20

t
=-4ln2•e-

ln2

20

t，
∴f′（0）=-4ln2≈-2.768，
它表示温度降低到0C°的变化率；
（3）∵θ=f（t）=20+80e-

ln2

20

t，
∴当t=20时，θ=f（20）=20+80e^-ln2=20+80×2^-1=60，
∴画出函数θ=f（t）在t=20附近的大致图形，如图所示．

点评：本题考查了函数模型的应用问题，也考查了函数的图象与性质的应用问题，导数的几何意义的应用问题，是综合性题目．