Question

已知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x²）=2f（x）；
（2）求f（1）的值；
（3）若f（x）+f（x+3）≤2，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y代入f（xy）=f（x）+f（y）可得f（x²）=f（x）+f（x）=2f（x）；
（2）令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1），从而可解得f（1）=0；
（3）令x=y=2，得f（4）=2，则f（x）+f（x+3）≤f（4），利用函数的单调性及定义域可得

x•(x+3)≤4 x＞0 x+3＞0

，从而解得．

解答： 解：（1）证明：令x=y，
则由f（xy）=f（x）+f（y）可得，
f（x²）=f（x）+f（x）=2f（x）；
（2）令x=y=1，得
f（1）=f（1）+f（1），
则f（1）=0；
（3）令x=y=2，得f（4）=2，
则f（x）+f（x+3）≤f（4），
则

x•(x+3)≤4 x＞0 x+3＞0

，
解得0＜x≤1．

点评：本题考查了抽象函数的性质判断与应用，属于中档题．