Question

7．如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．
（1）求证：DE²=DB•DA；    
（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理证明DE²=DB•DA，即可求出DE．
（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的长．

解答 （1）证明：连接OF．
因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因为DF是⊙O的切线，所以DF²=DB•DA．
所以DE²=DB•DA．
（2）解：∵DF²=DB•DA，DB=2，DF=4．
∴DA=8，从而AB=6，则OC=3．
又由（1）可知，DE=DF=4，∴BE=2，OE=1．
从而 在Rt△COE中，$CE=\sqrt{C{O^2}+O{E^2}}=\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用，属于中档题．