Question

13．已知0＜x＜1，函数f（x）=（1+x²）（2-x），
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若a、b、c为正，且满足a+b+c=1，求证$\frac{1}{1+{a}^{2}}$+$\frac{1}{1+{b}^{2}}$+$\frac{1}{1+{c}^{2}}$≤$\frac{27}{10}$．

Answer 1

分析 （1）f（x）=（1+x²）（2-x）=-x³+2x²-x+2，0＜x＜1，可得f′（x）=-3x²+4x-1=-（3x-1）（x-1），利用导数研究函数的单调性极值即可得出．
（2）由（1）可得：0＜x＜1，（1+x²）（2-x）≥$\frac{50}{27}$，$\frac{1}{1+{x}^{2}}$≤$\frac{27（2-x）}{50}$．利用a、b、c为正，且满足a+b+c=1，代入即可得出．

解答 （1）解：f（x）=（1+x²）（2-x）=-x³+2x²-x+2，0＜x＜1，
f′（x）=-3x²+4x-1=-（3x-1）（x-1），
当$0＜x＜\frac{1}{3}$时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；当$\frac{1}{3}＜x＜1$时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴当x=$\frac{1}{3}$时，函数f（x）取得极小值即最小值，$f（\frac{1}{3}）$=$（1+\frac{1}{9}）$×$（2-\frac{1}{3}）$=$\frac{50}{27}$．
（2）证明：由（1）可得：0＜x＜1，（1+x²）（2-x）≥$\frac{50}{27}$，∴$\frac{1}{1+{x}^{2}}$≤$\frac{27（2-x）}{50}$．
∵a、b、c为正，且满足a+b+c=1，
∴$\frac{1}{1+{a}^{2}}$+$\frac{1}{1+{b}^{2}}$+$\frac{1}{1+{c}^{2}}$≤$\frac{27[6-（a+b+c）]}{50}$=$\frac{27}{10}$．当且仅当a=b=c=$\frac{1}{3}$时取等号．
∴$\frac{1}{1+{a}^{2}}$+$\frac{1}{1+{b}^{2}}$+$\frac{1}{1+{c}^{2}}$≤$\frac{27}{10}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值并且证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．