Question

19．已知函数f（x）=x|2x-a|，g（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{x-1}$（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若a＜0，解不等式f（x）≥a；
（3）若0＜a＜12，且对任意t∈[3，5]，方程f（x）=g（x）在x∈[3，5]总存在两不相等的实数根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的应用，结合函数的单调性进行判断．
（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可．
（3）根据函数单调性的性质，结合函数与方程的关系进行求解即可

解答 解：（1）若a＜0，f（x）的单调增区间为$（-∞，\frac{a}{2}）$和$（\frac{a}{4}，+∞）$…（2分）
若a＞0，f（x）的单调增区间为$（-∞，\frac{a}{4}）$和$（\frac{a}{2}，+∞）$…（4分）
若a=0，f（x）的单调增区间为R…（5分）
（2）∵a＜0，∴f（x）在$（-∞，\frac{a}{2}]$单调递增，在$[\frac{a}{2}，\frac{a}{4}]$单调递减，在$[\frac{a}{4}，+∞）$单调递增，
若$f（\frac{a}{4}）=-\frac{a^2}{8}$≥a，
即-8≤a＜0时，令x（a-2x）=a解得：${x_1}=\frac{{a-\sqrt{{a^2}-8a}}}{4}$，
∴不等式的解为：$x≥\frac{{a-\sqrt{{a^2}-8a}}}{4}$…（7分）
若$f（\frac{a}{4}）=-\frac{a^2}{8}$＜a即a＜-8时，令x（2x-a）=a解得：${x_1}_{，2}=\frac{{a±\sqrt{{a^2}+8a}}}{4}$，
据图象：不等式的解为：$\frac{{a-\sqrt{{a^2}-8a}}}{4}≤x≤\frac{{a-\sqrt{{a^2}+8a}}}{4}或x≥\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8a}}}{4}$，
综上：-8≤a＜0不等式的解为：$x≥\frac{{a-\sqrt{{a^2}-8a}}}{4}$，
a＜-8不等式的解为：$\frac{{a-\sqrt{{a^2}-8a}}}{4}≤x≤\frac{{a-\sqrt{{a^2}+8a}}}{4}或x≥\frac{{a+\sqrt{{a^2}+8a}}}{4}$…（9分）
（3）f（x）=x|2x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{-2（x-\frac{a}{4}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{8}，}&{x＜\frac{a}{2}}\\{2（x-\frac{a}{4}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{8}，}&{x≥\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，
∵0＜a＜12，∴f（x）在$（-∞，\frac{a}{4}]$单调递增，在$[\frac{a}{4}，\frac{a}{2}]$单调递减
在$[\frac{a}{2}，+∞）$单调递增，∴$3＜\frac{a}{2}＜5$，即6＜a＜10，
∴$g（x）=\frac{{{x^2}-a}}{x-1}$=x-1+$\frac{1-a}{x-1}$+2在x∈[3，5]单调递增，
∴$g（x）∈[\frac{9-a}{2}，\frac{25-a}{4}]$…（11分）
f（x）在$[3，\frac{a}{2}]$单调递减，在$[\frac{a}{2}，5]$单调递增，
∴必须$[g（3），g（5）]⊆[f（\frac{a}{2}），min\{f（3），f（5）\}]$
即∴$\left\{\begin{array}{l}{g（5）≤f（3）}\\{g（5）≤f（5）}\\{g（3）＞f（\frac{a}{2}）}\end{array}\right.$⇒$\frac{97}{13}≤a＜9$…（15分）

点评 本题主要考查不等式的求解，结合一元二次函数的性质，利用函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．