Question

17．P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1上任意一点，F₁，F₂为左、右焦点，如图所示．
（1）若PF₁的中点为M，求证：MO=5-$\frac{1}{2}$|PF₁|；
（2）若∠F₁PF₂=60°，求|PF₁|•|PF₂|的值以及△PF₁F₂的面积；
（3）椭圆上是否存在点P，使$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，若存在，求出P点的坐标，若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）在△F₁PF₂中，MO为中位线，根据三角形的中位线定理再结合椭圆的定义即可得出答案；
（2）先利用椭圆的定义得到：|PF₁|+|PF₂|=10，再在△PF₁F₂中利用余弦定理得出cos 60°=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$，两者结合即可求得|PF₁|•|PF₂|，由三角形面积公式即可得解；
（3）先设点P（x₀，y₀），根据椭圆的性质，易知F₁（-3，0），F₂（3，0），写出向量的坐标再结合向量垂直的条件得出关于P点坐标的方程组，由此方程组无解，故这样的点P不存在．

解答 证明：（1）在△F₁PF₂中，MO为中位线，
∴|MO|=$\frac{|P{F}_{2}|}{2}$=$\frac{2a-|P{F}_{1}|}{2}$
=a-$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$=5-$\frac{1}{2}$|PF₁|．…．（3分）
（2）解：∵|PF₁|+|PF₂|=10，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2|PF₁|•|PF₂|，
在△PF₁F₂中，cos 60°=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$，
∴|PF₁|•|PF₂|=100-2|PF₁|•|PF₂|-36，
∴|PF₁|•|PF₂|=$\frac{64}{3}$．…（8分）
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$×|PF₁|×|PF₂|×sin60°=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．…（9分）
（3）解：设点P（x₀，y₀），则 $\frac{{{x}_{0}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{16}=1$．①
易知F₁（-3，0），F₂（3，0），故$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-3-x₀，-y₀），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（3-x₀，-y₀），
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴x${{\;}_{0}}^{2}$-9+y${{\;}_{0}}^{2}$=0，②
由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在． …（12分）

点评 本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基本知识的考查．