Question

12．过双曲线一焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于A、B两点，若以AB为直径的圆恰过双曲线的一个顶点，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 3
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 先求出A的坐标，利用以AB为直径的圆恰过双曲线的一个顶点，可得$\frac{{b}^{2}}{a}$=c+a，从而可求双曲线的离心率．

解答 解：不妨设A（c，y₀），代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得y₀=±$\frac{{b}^{2}}{a}$．
∵以AB为直径的圆恰过双曲线的一个顶点，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=c+a，
∴ac+a²=b²，
∴e²-e-2=0，
∵e＞1，
∴e=2．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．