Question

【题目】已知函数，．

（）求的值域．

（）若对于内的所有实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或．

【解析】

试题分析：

（）由对勾函数的性质可知在上是减函数，在上是增函数，据此计算可得的值域为．

（）原问题即，对于恒成立，

令，则，且的图象开口向上，对称轴为．据此分类讨论有：

①当时，，此时；

②当时，，此时无解；

③当时，，此时，

综上可得实数的取值范围为：或．

试题解析：

（）∵在上是减函数，在上是增函数，

且，，，

∴的值域为．

（）对于内的所有实数，不等式恒成立等价于，对于恒成立，

令，则，

∵的图象为抛物线，开口向上，对称轴为．

①当时，在上单调递增，

∴，

解得或，

∴；

②当时，在上单调递减，在上单调递增，

∴，解得，

∴无解；

③当时，在上单调递减，

∴，

解得或，

∴，

综上所述，实数的取值范围为：或．