Question

【题目】当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：将曲线方程化简，可得曲线表示以为圆心、半径的圆的上半圆，再将直线方程化为点斜式，可得直线经过定点且斜率为k，作出示意图，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为，当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点，由此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算，可得实数k的取值范围.

详解：化简曲线，得，

曲线表示以为圆心、半径的圆的上半圆，

直线可化为，

直线经过定点且斜率为k，

又半圆与直线有两个相异的交点，

设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为，

当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，

直线与半圆有两个相异的交点，

由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足，

解得，即，

又直线AB的斜率，

直线的斜率k的范围为.

故答案为：.