题目内容
【题目】已知过点的动直线与抛物线: 相交于, 两点.当直线的斜率是时, .
(1)求抛物线的方程;
(2)设线段的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:
(1)设抛物线方程为,与直线方程联立,并设,结合韦达定理可,而已知条件告诉我们有,这样可解得,得抛物线方程;
(2)设直线方程为,与抛物线方程联立方程组,同时设中点为,结合韦达定理可得,从而得中垂线方程,求出纵截距(关于的函数),由直线与抛物线相交可得的范围,从而可求得纵截距的范围.
试题解析:
(1)设, ,当直线的斜率是时, 的方程为,
即,由得:
,
①,②,
又, ③,
由①②③及得: ,得抛物线的方程为.
(2)设: , 的中点坐标为,
由得④
, .
线段的中垂线方程为,
线段的中垂线在轴上的截距为:
对于方程④,由得或, .
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