题目内容
【题目】已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）若函数y=f（x）+ 
在[ 
，+∞）上有两个不同的零点，求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，使得对任意的x∈（ 
，+∞），都有函数y=f（x）+ 的图象在g（x）= 
的图象的下方；若存在，请求出最大整数k的值，若不存在，请说明理由（参考数据：ln2=0.6931， 
=1.6487）．
【答案】
（1）解：函数的定义域为（0，+∞），
则f′（x）= 
，则f′（1）=1，且f（1）=ln1=0，
即切点坐标为（1，0），
则函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣0=x﹣1，即y=x﹣1
（2）解：y=f（x）+ 
=lnx+ ，
若函数y=f（x）+ 在[ 
，+∞）上有两个不同的零点，
则函数y=f（x）+ =0，即lnx+ =0在[ ，+∞）上有两个不同的根，
即 =﹣lnx，则k=﹣xlnx，
设y=g（x）=﹣xlnx，
则g′（x）=﹣（lnx+x ）=﹣1﹣lnx，
由g′（x）＜0得﹣1﹣lnx＜0得lnx＞﹣1，
即x＞ 
，此时函数g（x）单调递减，
由g′（x）＞0得﹣1﹣lnx＞0得lnx＜﹣1，
即 ≤x＜ ，此时函数g（x）单调递增，即当x= 时，函数取得极大值为g（ ）=﹣ ln = ，
当x= 时，g（ ）=﹣ ln = 
，
作出g（x）的对应图象，若y=k与g（x）有两个不同的交点，
则 ≤k＜
（3）解：若对任意的x∈（ 
，+∞），都有函数y=f（x）+ 的图象在g（x）= 
的图象的下方，
即对任意的x∈（ ，+∞），f（x）+ ﹣ ＜0恒成立，
即lnx+ ﹣ ＜0恒成立，
即 ＜ ﹣lnx，
则k＜ex﹣xlnx，
设h（x）=ex﹣xlnx，则h′（x）=ex﹣1﹣lnx，
h′′（x）=ex﹣ ，
设h′′（x）=ex﹣ 的零点为x0，
则当 ＜x＜x0时，h′′（x）＜0时，函数为减函数，
当x＞x0时，h′′（x）＞0，即h′（x）为增函数，
即当x=x0时函数h′（x）取得极小值同时也是最小值，
h′（x）最小为h′（x0）= 
﹣1﹣lnx0＞ 
﹣1﹣ln = ﹣1+ln2=0.6931+1.6487﹣1＞0，
即h′（x）＞0此时函数h（x）在（ ，+∞）上为增函数，
则h（x）＞h（ ）= ﹣ ln = + ln2=1.648+ 
0.6931=1.648+0.39655=2.04455．
即k＜2.04455．
∴最大的整数k=2．
【解析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解．（2）利用参数分离法转化为两个函数有两个不同的交点即可．（3）y=f（x）+ 的图象在g（x）= 的图象的下方，等价为对任意的x∈（ ，+∞），f（x）+ ﹣ ＜0恒成立，利用参数分离法，结合函数的单调性和导数之间的关系进行期间即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数
的极值的方法是:（1）如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值（2）如果在附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值．
