Question

如图，已知四棱锥，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，∠ABC=60°，E是CD的中点，F为PC上一点，满足FC=2PF．
（1）证明：AE⊥PB；
（2）求直线AF与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）通过已知条件证明AE⊥平面PAB，进而可得直线与直线的垂直；
（2）过A作AM⊥PE，垂足为M，可证∠AFM即为直线线AF与平面PCD所成角，分别在RT△PAE和RT△PAC中，求解AM和AF，由正弦函数的定义可得．

解答： 解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，
∴△ACD为正三角形，
∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，
又∵AB∥CD，∴AE⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，
又AB?平面PAB，PA?平面PAB且PA∩AB=A，
∴AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴AE⊥PB
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AE⊥CD，PA?平面PAE，AE?平面PAE，且AE∩PA=A，
∴CD⊥平面PAE，又CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAE，
过A作AM⊥PE，垂足为M，又平面PCD∩平面PAE=PE，AM?平面PAE，
∴AM⊥平面PCD，∠AFM即为直线线AF与平面PCD所成角，
在RT△PAE中，AE=

3

2

AB=

3

，PA=2，∴AM=

2 21

7

，
在RT△PAC中，AC=AB=2，PA=2，∴AF=

2 5

3

，
在RT△AMF中，sin∠AFM=

AM

AF

=

3 105

35

，
∴直线AF与平面PCD所成角的正弦值为：

3 105

35

点评：本题考查直线与平面的位置关系，涉及线面角和垂直的判定和性质，属中档题．